白板报 数学集锦 / 03.14
HACKER NEWS / REDDIT

圆周率集锦

从一条圆周，到小数、证明和算 π 的种种办法。

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从一张方格纸、一盒火柴讲起，再看看人们为什么要算那么多位 π。

亲手算一次

  1. 拿一张方格纸，能算出 π 吗？

    在方格纸上画一个圆，数一数圆里有多少格，边缘的半格拼起来算。把估出的面积除以半径的平方，就得到一个 π 的近似值。换张格子更细的纸，看看第二次会不会更准。

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  2. 刘徽怎样把圆一点点割出来？

    在圆里画一个正六边形，再把边数翻倍。每多割一次，圆和多边形之间的空隙就小一些。作者照着刘徽的思路手算了一遍，一千七百年前的办法，今天用纸笔还能跟得上。

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  3. 往方框里撒点，为什么会撒出 π？

    把一个圆正好套进正方形里，再往方框里均匀随机撒点。落在圆里的比例乘以 4，就能估算 π。先撒一百个点，再撒一万个，看看两次结果各有多大偏差。

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  4. 一盒火柴怎么估出圆周率？

    在纸上画一排等距平行线，线距取一根火柴的长度。随手撒下许多根，数有多少根压到了线。在理想的随机试验里，压线的比例约是 2 除以 π。

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  5. 听台球碰几声，就能读出 π？

    让靠墙的小块静止，另一块朝它滑过去。假定没有摩擦，碰撞也不损失能量。两块的质量比取 1、100、10000，块与块、块与墙的碰撞加起来，依次是 3、31、314。可以先让听众猜猜下一项。

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  6. 为什么画再多台阶也画不出 π＝4？

    用横线和竖线绕出一圈台阶，台阶越细，轮廓越像圆。可这些横竖线加起来，始终和最外层方框一样长。眼睛看到形状靠近了，周长却保留了折线走过的那些弯。

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把圆换个看法

  1. 如果教科书只能写一句，怎么定义 π？

    拿杯口、锅盖和车轮来比，大圆的周长和直径一起变长，它们的比值却一样。讨论里还有人从三角函数或积分出发。同一个数，可以从几扇不同的门走进去。

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  2. π 写不完，圆的面积还能算准吗？

    半径为 1 的圆，面积就写成 π，这已经给出了精确值。只有在要交给计算器、量尺或施工图时，才要决定保留几位小数。可以拿三分之一来比，写成分数时它就已经很清楚了。

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  3. 在弯曲的世界里，《毁灭战士》的圆有多大？

    如果只能沿球面走，你可以把北极当圆心，把赤道当一条圆周。把沿球面从北极到赤道的距离当半径，再用赤道周长除以两倍半径，结果是 2。这个游戏演示让人走进弯曲空间，亲眼看几何规则如何改变。

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  4. 如果把一整圈叫作 τ，公式会好懂吗？

    在常用写法里，一整圈是 2π 弧度，四分之一圈是 π/2。提议用 τ 表示一整圈的人，会把后者写成 τ/4。让两套记号各画一个钟面，就能看出双方在争什么。

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  5. 把圆换成一个横躺的 8，会出现什么常数？

    圆的周长可以用 π 来写。约翰·贝兹从一条形似 ∞ 的曲线出发，也用弧长引出一个常数。把圆压成椭圆之后，还能只用一个固定的数算周长吗？

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  6. 转半圈，怎么就到了 −1？

    在复平面上，从 1 出发沿单位圆转半圈，落点是 −1。欧拉公式里的 π 正好告诉你转了多少。先画出这条半圆，再看 e 的 πi 次方，比直接背等式容易记。

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到底要用多少位

  1. NASA 导航时，真的用得上几百位 π 吗？

    用 π 算一个大圆的周长，末位误差会随着直径一起放大。NASA 的例子把这件事落到航天导航所需的精度上。先问要算多远、容许差多少，再决定该留下几位。

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  2. 3.14、22/7，手算时你选哪个？

    想象你要估一条环形跑道的长度。3.14 方便做小数乘法，22/7 遇到能被 7 整除的直径又很好算。原帖收集各种近似值，比较的是在什么场合值得多费一步。

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  3. 祖冲之的 355/113 有多准？

    把 355 除以 113，会得到 3.141592920…，开头的 3.141592 和 π 一样。分子分母都只有三位数，拿来和 22/7 做一次长除法，很容易看出这个分数的妙处。

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  4. 按下计算器的 π 键，它去哪儿找这个数？

    许多计算器会直接取一个预先存好的近似值。机器内部保留的位数，也可能比屏幕显示的多。可以试着用 π 键和手输 3.14 各算一次同样的圆面积。

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  5. π² 和地表重力加速度为什么只差一点？

    在常用的米和秒里，这两个数都接近 9.8。一根长约一米的摆，来回一次大约要两秒，摆的公式刚好把这些数连起来。把米改成厘米，再看看这个巧合还在不在。

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  6. 为什么做加减法就能算 π，连圆都不用画？

    把 1 减去 1/3，加上 1/5，再减去 1/7，如此交替下去，结果会靠近 π/4。这个办法很慢。一串只有分数的算式，为什么会和圆有关？

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到小数里找东西

  1. π 里一定藏着连续一百万个 1 吗？

    无限长、从某处起也不会循环的小数，仍然可以故意避开某些数字。只要想象一个用 0 和 1 写成、永远不循环的数，就知道无理性本身回答不了这道题。π 是否包含所有有限数字串，目前仍无定论。

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  2. 数完一万位，能证明每个数字一样常见吗？

    先数一万位里各有多少个 0 到 9，再改数两位一组的 00 到 99。前者看着均匀，后者仍是新问题。证明 π 在十进制下正规，要处理任意长度的数字串和无限延伸的小数位。

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  3. 把四百万位小数涂成一张图

    给 0 到 9 各选一种颜色，然后按小数位的顺序铺像素。几行数字很难看出什么，铺成一整张图后，眼睛会不自觉地找条纹。看完也可以问，换个排法，同一串数字会呈现出什么样子？

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  4. 能在 π 里找到戴条纹帽的瓦尔多吗？

    先把《威利在哪里？》里的小人图案变成数字，再去 π 的小数里找。好玩的地方在于，图案怎么编码、允许多少细节，都会改变你究竟在找什么。

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  5. 如果文件只存成 π 小数里的一个地址

    试想要保存一句话，先把它编成数字，再记下这串数字在 π 里从哪一位出现。取回时去那个位置重读。这个文件系统的麻烦在于，光是找地址和存地址，就可能费不少工夫。

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  6. 只要很远的一位，能跳过前面那些位吗？

    平时做长除法，得从第一位一路算下去。有些 π 的公式允许你直接提取很远的十六进制数位。讲给普通人听，可以先用翻字典比一比，从头读一遍和直接翻到某一页，是两种不同的本事。

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哪些事能证明

  1. 还没算到头，怎么知道永远没有尽头？

    算得再远，最后也只能拿到有限多位。数学上的办法是研究什么样的数会写成有限或循环小数，再用无理性证明排除这两种可能。这个问题很适合拿来讲观察和证明的区别。

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  2. 证明 π 是无理数，有一条什么样的路？

    先假设 π 可以写成整数之比。证明设计了一个量，照这个假设算下去，它必须是整数，同时又严格夹在 0 和 1 之间。公式可以慢慢读，矛盾在哪里倒是一眼就能看见。

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  3. 如果用 π 作底数，π 要写成什么？

    十进制的 10 表示一个十，二进制的 10 表示一个二。顺着这个规则，在以 π 为底的记法里，π 就写成 10。有限不有限，和你选的记法有关。无理性问的是它能否写成两个整数之比。

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  4. π 和 e 都无理，它们加起来呢？

    先算 √2 加上 −√2，两个无理数的和一下变成了 0。这个反例只告诉我们，单靠两者都是无理数还解不出原题。π＋e 究竟是否无理，至今仍是个未解决的问题。

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  5. 把圆切开摊平，算不算化圆为方？

    发帖人试着把切开的圆摊成长条，再想办法拼出等面积的方形。这个直觉很适合画出来讨论。古典题目还加了一道限制，只用无刻度直尺和圆规，且只做有限步。

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  6. 沿半个单位圆走一遍，能写出一道积分吗？

    在纸上画一个半径为 1 的半圆。沿弧走过的长度正好是 π，把这段弧长写成积分，就得到一个精确表达式。即使还没学过积分，也能先从图上知道答案应该是多少。

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从纸笔算到机器

  1. 一位手算者写了 707 位，错从哪里开始？

    威廉·尚克斯在 1873 年公布了 π 的 707 位小数，后人核对发现，前 527 位是对的。手边若有两份长得几乎一样的答案，要怎么查出谁漏算了一步？

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  2. 在早期四位微处理器上算 π

    现代电脑把大数运算藏在现成工具里。拿 Intel 4004 来算，程序得仔细安排怎样把大数拆开、进位，再拼回去。读这篇可以从小学竖式讲起，机器再小，也得处理同样的进位。

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  3. 九行 JavaScript 为什么能算一百万位？

    九行是读者眼前的程序长度，背后仍有大量大整数运算。可以把它和计算器上的 π 键并排讲，一个直接拿到常用精度，一个要实际生成长得多的数字串。

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  4. 所谓错公式，怎么会算对几十亿位？

    论文里的表达式与 π 有一丝差别，小到能让前面极多位都相同。把 3.14159 和 3.14158 并排写，先看两数如何有一段相同开头，再想象这段开头延长到数十亿位。

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  5. 算出 100 万亿位以后，往哪儿放？

    当答案长到这个地步，硬盘、读取速度和检查结果都变成了难题。文章记录 Google Cloud 的一次计算，讲的既有公式，也有怎样让机器把如此长的数字一路写下去。

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  6. 谁能检查一份长达万亿位的答案？

    人眼逐位对照不现实。讨论里提到用独立计算交叉检查，或对特定位置单独验算。抽查几处能发现什么，又有哪些错需要更全面的核对？

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π 怎样走出课本

  1. 是谁让这个数有了一个字母？

    人们早就会算圆周率，符号 π 却晚得多。威廉·琼斯在 1706 年用过这个记号，后来欧拉的著作帮助它流行。同一个数，大家为什么需要统一叫法？

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  2. 印第安纳州的议会为什么讨论圆周率？

    1897 年，有人把一套化圆为方的主张提交给州议会，其中的比例暗示 π 等于 3.2。提案在众议院通过，后来被州参议院搁置。数学题突然有了议程和表决，这比一句「差点立法改 π」更值得讲。

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  3. 2015 年 3 月 14 日，为什么还要盯着秒针？

    按月、日、年的顺序写成 3/14/15，再接上 9:26:53，正好拼出 3.141592653 的数字。这个日期梗和数学一样讲究顺序，换一种写日期的习惯，彩蛋就藏起来了。

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  4. 背一百位 π，能靠什么把数字串起来？

    作者记下自己练习背诵的过程。读的时候可以顺手试试，把一串陌生数字拆成几个短块，再把每块和一个熟悉的图像或声音连起来。隔一会儿回想，看看哪种线索最管用。

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  5. 有一本书，单词长短都得听 π 的

    迈克·基思的《Not A Wake》把圆周率的数位藏进单词的长度。句子仍要读得通，还要服从数字给出的限制。可以给听众 3、1、4 三个数，请他们先试写三个相应长度的英文单词。

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  6. 如果把 π 写在旧金山上空

    一次空中书写表演用飞机画出了圆周率开头的一千位。想象抬头时只能看见其中一段，你得一边找开头，一边等数字被风吹散。飞机飞走以后，这串数字还会在天上留多久？

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讨论目录

1–30 / 13,083 条 · 第 1 / 437 页
  1. Hacker News数位与应用2016-03-19462 分120 回复

    NASA 真的需要多少位圆周率？

    从航天导航的实际精度出发，看多保留一位小数，算出的距离会差多少。

    How Many Decimals of Pi Do We Really Need? 外链资料 ↗

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  2. Hacker News数位与应用2024-08-10509 分330 回复

    为什么 π² 恰好接近地表重力加速度？

    从秒摆的周期公式出发，追问这个近似与长度、时间单位有什么关系。

    A wonderful coincidence or an expected connection: why π² ≈ g 外链资料 ↗

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  3. Reddit · r/explainlikeimfive证明与性质2022-03-152,596 分409 回复

    π 的小数里一定会出现连续一百万个 1 吗？

    讨论区区分了有限数字串是否出现、出现频率以及为什么有限样本无法解决这类问题。

    ELI5 how are we sure that every arrangement of number appears somewhere in pi? How do we know that a string of a million 1s appears somewhere in pi?

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  5. Hacker News定义与几何2010-06-28367 分147 回复

    圆的常数该用 π，还是用 τ？

    《Tau 宣言》主张用一整圈的弧度 τ＝2π 来写公式。讨论追问换一套记号能简化哪些式子。

    No, really, pi is wrong: The Tau Manifesto (Tau Day, 2010) 外链资料 ↗

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  7. Reddit · r/askscience计算与算法2016-10-113,269 分399 回复

    只求 π 的第 n 位，需要先算出前面所有位吗？

    讨论从内存限制出发，介绍能直接提取某些进位制数位的公式，也问到十进制是否有同样的办法。

    Is it possible to calculate nth digit of pi for any n in a limited amount of memory?

    69 条相关评论
  8. Reddit · r/askscience定义与几何2020-01-066,024 分790 回复

    π 的小数写不完，圆的面积还能精确表示吗？

    把用 π 写出的精确值，与计算器显示的有限位近似分开。

    Can we ever know the exact area of a circle if the decimal part of pi is infinite?

    125 条相关评论
  11. Hacker News计算与算法2019-09-12172 分81 回复

    用九行 JavaScript 算一百万位 π

    讨论从代码本身延伸到大整数、级数和运行开销。适合对计算方法感兴趣的读者。

    A Million Digits of Pi in 9 Lines of JavaScript 外链资料 ↗

    9 条相关评论
  12. Hacker News计算与算法2018-09-21148 分54 回复

    错公式怎么给出数十亿位正确的 π？

    讨论源于一篇 1999 年的论文。作者解释了特殊近似式为何能在误差露出来之前连续给出大量正确数字。

    Get Billions of Correct Digits of Pi from a Wrong Formula (1999) [pdf] 外链资料 ↗

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  14. Hacker News计算与算法2024-07-12153 分280 回复

    202 万亿位 π 的计算纪录

    讨论聚焦一次具体的纪录计算，以及磁盘、运行时间和验证如何影响结果。

    Pi calculation world record with over 202T digits 外链资料 ↗

    36 条相关评论
  15. Hacker News数位与应用2022-03-31234 分78 回复

    在 π 里找瓦尔多

    把图案编码成数字，再去 π 的展开中查找。这个点子也引出一个数学问题，哪些数字串能保证出现？

    Finding Waldo in π 外链资料 ↗

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  16. Reddit · r/math定义与几何2024-08-14123 分104 回复

    你会怎样定义 π？

    圆的周长和直径之比是一个入口。讨论还涉及积分、三角函数以及从分析出发的定义。

    How do you define Pi?

    23 条相关评论
  17. Reddit · r/learnmath证明与性质2023-10-22224 分287 回复

    无理性是怎么证明的？弯曲空间又会怎样？

    从一个初学者的提问出发，讨论延伸到严格证明以及弯曲空间中圆周长与直径的比。

    Why is π irrational?

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  19. Reddit · r/todayilearned实验与演示2014-06-282,244 分275 回复

    扔火柴也能估计 π？

    在平行线格上随机落针，统计有多少根针碰到线。这个几率把随机试验与圆周率连了起来。

    TIL the value of Pi could be approximated with stunning accuracy by dropping a bunch of matches on a piece of paper.

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  21. Reddit · r/math计算与算法2025-09-08117 分121 回复

    哪些 π 的近似值真有用？

    用手算、估算或写程序时，精度和计算代价不同。讨论比较了一批分数和其他近似式。

    What is the best *useful* approximation of π?

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  22. Reddit · r/mathematics证明与性质2023-10-1285 分257 回复

    换一个进位制，π 能写成有限位吗？

    讨论比较通常使用的整数进位制，以及允许以 π 本身作底数时会发生什么。

    Pi is an irrational, does it have exact value in any other number system?

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  23. Reddit · r/learnmath计算与算法2024-12-0388 分57 回复

    我们怎么知道 π 是多少？

    从方格纸估面积讲到收敛级数，适合想亲手算出前几位的人。

    How do we know what pi is?

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  29. Hacker News定义与几何2011-07-05116 分82 回复

    《π 宣言》怎样回应 τ 的主张？

    同样是描述圆，一派从整圈的角度出发，一派从圆的周长、直径和面积出发。

    The Pi Manifesto 外链资料 ↗

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